ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN 9 – NĂM HỌC 2017 – 2018

Tháng Mười Hai 4, 2017 8:47 sáng
PHÒNG GD VÀ ĐT TX BA ĐỒN

TRƯỜNG THCS NGUYỄN HÀM NINH

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI

MÔN TOÁN 9 – NĂM HỌC 2017 – 2018

(Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian giao đề.)

 

Câu 1 (2.0 điểm)    

Cho biểu thức:  với .

  1. Rút gọn biểu thức P.
  2. Tìm để biểu thức P đạt giá trị nhỏ nhất.

Câu 2 (1.0 điểm)    

Cho phương trình:  (tham số m). Tìm m để phương trình có hai nghiệm  thỏa mãn .

Câu 3 (2.0 điểm).                                                                 

  1. Giải hệ phương trình:
  2. Giải phương trình: .

Câu 4 (1,0 điểm). Cho  là các số thực dương thỏa mãn . Chứng minh:

Câu 5 (3,0 điểm). Cho tam giác nhọn ABC, . Gọi D, E, F lần lượt là chân đường cao kẻ từ A, B, C. Gọi P là giao điểm của đường thẳng BCEF. Đường thẳng qua D song song với EF lần lượt cắt các đường thẳng AB, AC, CF tại Q, R, S. Chứng minh:

  1. D là trung điểm của QS.
  2. Đường tròn ngoại tiếp tam giác PQR đi qua trung điểm của BC.

 

Câu 6 (1,0 điểm). Hỏi có hay không 16 số tự nhiên, mỗi số có ba chữ số được tạo thành từ ba chữ số a, b, c thỏa mãn hai số bất kỳ trong chúng không có cùng số dư khi chia cho 16?

 

 

 

 

 

 

 

 

HƯỚNG DẪN CHẤM

Câu Nội dung Điểm
1 Cho biểu thức:  với .

a. Rút gọn biểu thức P.

1,0
Với  ta có: 0,25
0,25
0,25
Kết luận:

 

0,25
b. Tìm  để biểu thức P đạt giá trị nhỏ nhất.  1,0
Với  ta có: 0,5
Dấu ‘=’ xãy ra khi và chỉ khi

Kết luận: P đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi

0,5
2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

a. Cho phương trình:  (tham số m). Tìm m để phương trình có hai nghiệm  thỏa mãn 1,0
Ta có: ∆’

Phương trình có hai nghiệm ∆’

0,25
Theo định lý Viet ta có:

Theo bài ra:

    

0,25
0,25
Kết luận: 0,25
Giải hệ phương trình: 1.0
0,25
Nhân từng vế các phương trình của hệ trên ta được 0,25
+) Nếu , kết hợp với hệ trên ta được 0,25
+) Nếu , kết hợp với hệ trên ta được

. Vậy hệ phương trình đã cho có 2 nghiệm .

0,25
Giải phương trình 1.0
 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

Điều kiện xác định . Khi đó ta có 0,25
0,25
*) 0,25
*)

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là .

0,25
Cho  là các số thực dương thỏa mãn . Chứng minh: 1,0
Ta có 0,50
 (1) 0,25
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho 3 số dương ta được:

;  cộng từng vế hai bất đẳng thức này ta được (1). Do đó bất đẳng thức ban đầu được chứng minh.

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi .

0,25
Do  nên Q nằm trên tia đối của tia BAR nằm trong đoạn CA, từ đó Q, C nằm về cùng một phía của đường thẳng BR. 0,25
Do tứ giác BFEC nội tiếp nên , 0,25
 

 

 

b

Do QR song song với EF nên 0,25
Từ đó suy ra  hay tứ giác BQCR nội tiếp. 0,25
Tam giác DHB đồng dạng tam giác EHA nên

Tam giác DHC đồng dạng tam giác FHA nên

Từ hai tỷ số trên ta được

0,25
 

 

 

 

 

 

 

 

Áp dụng định lí Menelaus cho tam giác ABC với cát tuyến PEF ta được: 0,25
Từ (1) và (2) ta được 0,25
Do QR song song với EF nên theo định lí Thales:.

Kết hợp với (3) ta được  hay D là trung điểm của QS.

0,25
Đường tròn ngoại tiếp tam giác PQR đi qua trung điểm của BC. 2.0
Gọi M là trung điểm của BC. Ta sẽ chứng minh .

Thật vậy, do tứ giác BQCR nội tiếp nên  (4).

0,25
Tiếp theo ta chứng minh 0,25
   (đúng theo phần b). Do đó 0,25
  Từ (4) và (5) ta được  suy ra  tứ giác PQMR nội tiếp hay đường tròn ngoại tiếp tam giác PQR đi qua trung điểm của BC.

 

0,25
6 Hỏi có hay không 16 số tự nhiên, mỗi số có ba chữ số được tạo thành từ ba chữ số a, b, c thỏa mãn hai số bất kỳ trong chúng không có cùng số dư khi chia cho 16? 1,0
  Trả lời: Không tồn tại 16 số như vậy. Thật vậy, giả sử trái lại, tìm được 16 số thỏa mãn. Khi đó, ta có 16 số dư phân biệt khi chia cho 16: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15; trong đó có 8 số chẵn, 8 số lẻ.

Do đó, ba chữ số a, b, c khác tính chẵn lẻ, giả sử hai chữ số chẵn là a, b và chữ số lẻ là c.

0.25
  Có 9 số lẻ được tạo thành từ những chữ số này: 0.25
  Gọi  là các số có hai chữ số thu được từ các số ở trên bằng cách bỏ đi chữ số c (ở hàng đơn vị).  Khi đó

không là ước của  tức là  không chia hết cho 8

0.25
  Nhưng trong 9 số  chỉ có ba số lẻ  nên 8 số bất kỳ trong 9 số  luôn có hai số có cùng số dư khi chia cho 8, mâu thuẫn.

Tương tự, trường hợp trong ba số a, b, c có hai số lẻ, một số chẵn cũng không xảy ra

0.25